درسنامه آموزشی فصل اول آمار و احتمال کلاس یازدهم ریاضی
درس 3: قوانین و اعمال بین مجموعهها (جبر مجموعهها)
در این درس به بررسی قوانین و خواص مربوط به اعمال اجتماع و اشتراک میپردازیم، شما در اعداد حقیقی و برای دو عمل جمع $\left( + \right)$ و ضرب $\left( \times \right)$ قوانینی چون جابهجایی، شرکتپذیری و توزیعپذیری ضرب نسبت به جمع را میشناسید؛ یعنی میدانیم:
خاصیت جابهجایی
$I)\,\forall \,a,b\in \mathbb{R}\,\,\,;\,a+b=b+a$
خاصیت شرکتپذیری
$II)\,\forall \,a,b,c\in R\,\,;\left\{ \begin{matrix}
a+\left( b+c \right)=\left( a+b \right)+c \\
a\times \left( b\times c \right)=\left( a\times b \right)\times c \\
\end{matrix} \right.$
خاصیت توزیعپذیری «×» نسبت به «+»
$III)\,\forall \,a,b,c\in \mathbb{R}\,\,;\,a\times \left( b+c \right)=\left( a\times b \right)+\left( a\times c \right)$
توجه دارید که عمل $+$ نسبت به عمل ضرب $\times $ توزیعپذیر نیست، (با ذکر یک مثال نقض این مطلب را نشان دهید).
در مجموعهها دو عمل $\bigcup $ و $\bigcap $ خواصی مشابه خواص فوق داشته و این خواص با توجه به خواصی که در گزارهها برای دو ترکیب «$\vee $» و «$\wedge $» بیان شد قابل بررسی و اثبات میباشند. در فعالیت زیر، ابتدا توسط نمودار ون برقراری این خواص را مشاهده میکنید.
فعالیت (صفحهٔ 26 کتاب درسی)
1- در هر یک از حالتهای زیرمجموعههای خواسته شده را هاشور بزنید. (برای هاشور زدن مانند حالت (ت) از دو رنگ استفاده کنید).
الف)
|
|
ب)
|
|
پ)
|
|
ت)
|
|
2- با فرض اینکه $U=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$ و $A=\left\{ 1,2,3 \right\}$ و $B=\left\{ 3,4,5 \right\}$ و $C=\left\{ 1,2,5,6 \right\}$ در اینصورت، درستی هر یک از تساویهای زیر را بررسی کنید.
الف) $A\bigcap B=B\bigcap A$
$\begin{matrix}
A\bigcap B=\left\{ 1,2,3 \right\}\bigcap \left\{ 3,4,5 \right\}=\left\{ 3 \right\} \\
B\bigcap A=\left\{ 3,4,5 \right\}\bigcap \left\{ 1,2,3 \right\}=\left\{ 3 \right\} \\
\end{matrix}\Rightarrow A\bigcap B=B\bigcap A$
ب) $A\bigcap \left( B\bigcap C \right)=\left( A\bigcap B \right)\bigcap C$
$A\bigcap \left( B\bigcap C \right)=\left\{ 1,2,3 \right\}\bigcap \left( \left\{ 3,4,5 \right\}\bigcap \left\{ 1,2,5,6 \right\} \right)=\left\{ 1,2,3 \right\}\bigcap \left\{ 5 \right\}=\left\{ \, \right\}$
$\left( A\bigcap B \right)\bigcap C=\left( \left\{ 1,2,3 \right\}\bigcap \left\{ 3,4,5 \right\}\bigcap \left\{ 1,2,5,6 \right\} \right)=\left\{ 3 \right\}\bigcap \left\{ 1,2,5,6 \right\}=\left\{ \, \right\}$
$\Rightarrow A\bigcap \left( B\bigcap C \right)=\left( A\bigcap B \right)\bigcap C$
پ) $A\bigcap \left( B\bigcup C \right)=\left( A\bigcap B \right)\bigcup \left( A\bigcap C \right)$
$A\bigcap \left( B\bigcup C \right)=\left\{ 1,2,3 \right\}\bigcap \left( \left\{ 3,4,5 \right\}\bigcup \left\{ 1,2,5,6 \right\} \right)=\left\{ 1,2,3 \right\}\bigcap \left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}=\left\{ 1,2,3 \right\}$
$\left( A\bigcap B \right)\bigcup \left( A\bigcap C \right)=\left( \left\{ 1,2,3 \right\}\bigcap \left\{ 3,4,5 \right\} \right)\bigcup \left( \left\{ 1,2,3 \right\}\bigcap \left\{ 1,2,5,6 \right\} \right)=\left\{ 3 \right\}\bigcup \left\{ 1,2 \right\}=\left\{ 1,2,3 \right\}$
$\Rightarrow A\bigcap \left( B\bigcup C \right)=\left( A\bigcap B \right)\bigcup \left( A\bigcap C \right)$
یادآوری: برای اثبات تساوی بین دو مجموعه A و B میبایست ثابت کنیم: $A\subseteq B$ و $B\subseteq A$
کار در کلاس (صفحهٔ 28 کتاب درسی)
با توجه به تعریف اعمال اجتماع و اشتراک و خواص جابهجایی، شرکتپذیری و توزیعپذیری دو ترکیب فصلی میخواهیم این خواص یا قوانین را برای «$\bigcup $» و «$\bigcap $» اثبات کنیم. شما این اثباتها را کامل کنید.
1- ثابت کنید، برای هر دو مجموعهٔ دلخواه A و B از مجموعهٔ U، داریم:
تعریف اجتماع
$A\bigcup B=\left\{ x\in U\left| x\in A\vee x\in B \right. \right\}$
جابهجایی «$ \vee $»
$=\left\{ x\in U\left| x\in B\vee x\in A \right. \right\}$
تعریف اجتماع
$=B\bigcup A$
2- ثابت کنید، برای سه مجموعهٔ دلخواه A و B و C از مجموعهٔ مرجع U داریم:
تعریف اجتماع
$A\bigcup \left( B\bigcup C \right)=\left( A\bigcup B \right)\bigcup C$
$A\bigcup \left( B\bigcup C \right)=\left\{ x\in U\left| x\in A\vee x\in \left( B\bigcup{C} \right) \right. \right\}$
$=\left\{ x\in U\left| x\in A\vee \left( x\in B\vee x\in C \right) \right. \right\}$
شرکتپذیری «$\vee$»
$=\left\{ x\in U\left| \left( x\in A\,\vee x\in B \right)\vee x\in C \right. \right\}$
تعریف اجتماع
$=\left\{ x\in U\left| x\in \left( A\bigcup B \right)\vee x\in C \right. \right\}$
$=\left( A\bigcup B \right)\bigcup C$
3- با استفاده از روش عضوگیری دلخواه، خاصیت توزیعپذیری «$\bigcup $» نسبت به «$\bigcap $» را ثابت کنید.
یعنی ثابت کنید:
$A\bigcup \left( B\bigcap C \right)=\left( A\bigcup B \right)\bigcap \left( A\bigcup C \right)$
$\forall \,x\,;\,\left[ {} \right.$ فرض کنیم $x\in \left[ A\bigcup \left( B\bigcap C \right) \right]$
تعریف اجتماع
$\Rightarrow \left[ x\in A\vee \left( x\in B\bigcap C \right) \right]$
تعریف اشتراک
$\Rightarrow \left[ x\in A\vee \left( x\in B\wedge x\in C \right) \right]$
توزیعپذیری «$\vee$» نسبت به «$\wedge$»
$\Rightarrow \left[ \left( x\in A\vee x\in B \right)\wedge \left( x\in A\vee x\in C \right) \right]$
تعریف «$\bigcup $»
$\Rightarrow \left[ x\in A\bigcup B\,\wedge \,x\in \,A\bigcup B \right]$
تعریف اشتراک
$\Rightarrow x\in \left[ \left( A\bigcup B \right)\bigcap \left( A\bigcup C \right) \right]$
$\Rightarrow A\bigcup \left( B\bigcap C \right)\subseteq \left( A\bigcup B \right)\bigcap \left( A\bigcup C \right)$
و به همین ترتیب ثابت میشود $\left( A\bigcup B \right)\bigcap \left( A\bigcup C \right)\subseteq A\bigcup \left( B\bigcap C \right)$ بنابراین، دو مجموعه با هم برابرند. (توجه داریم که از طرف دیگر، خاصیت توزیعپذیری اصطلاحاً همان فاکتورگیری است؛ یعنی رسیدن از سمت راست تساوی بهسمت چپ تساوی بهمعنای فاکتورگیری از «$A\bigcup $» است.)
مثال 1: با استفاده از خواص فوق ثابت کنید: (U مجموعهٔ مرجع فرض شده است.)
الف) $\left( A\bigcup B \right)\bigcap \left( {B}'\bigcup A \right)=A$
ب) $\left( C\bigcap A \right)\bigcup \left( {A}'\bigcap C \right)=C$
پ) $A\bigcup \left( B\bigcup {A}' \right)=U$
ت) $A-B=A\bigcap {B}'$
جابهجایی $\left( A\bigcup B \right)\bigcap \left( {B}'\bigcup A \right)=\left( A\bigcup B \right)\bigcap \left( A\bigcup {B}' \right)$ (الف
خاصیت توزیعپذیری (به اصطلاح فاکتورگیری) $=A\bigcup \left( B\bigcap {B}' \right)$
$=A\bigcup \varnothing $
$=A$
جابهجایی $\left( C\bigcap A \right)\bigcup \left( {A}'\bigcap C \right)=\left( C\bigcap A \right)\bigcup \left( C\bigcap {A}' \right)$ (ب
توزیعپذیری $=C\bigcap \left( A\bigcup {A}' \right)=C\bigcap U=C$
جابهجایی $A\bigcup \left( B\bigcup {A}' \right)=A\bigcup \left( {A}'\bigcup B \right)$ (پ
شرکتپذیری $=\left( A\bigcup {A}' \right)\bigcup B=U\bigcup B=U$
تعریف متمم $A-B=\left\{ x\in U\left| x\in A\,\wedge \,x\notin B \right. \right\}=\left\{ x\in U\left| x\in A\,\wedge \,x\in {B}' \right. \right\}$ (ت
تعریف اشتراک $=A\bigcap {B}'$
قضیه: برای هر دو مجموعهٔ دلخواه از مجموعهٔ مرجع U، داریم:
$A\subseteq B\Leftrightarrow A\bigcup B=B$ (الف
$A\subseteq B\Leftrightarrow A\bigcap B=A$ (ب
برهان: قبل از اثبات دقیق، ابتدا در نمودارهای زیر $\left( A\bigcup B \right)$ و $\left( A\bigcap B \right)$ را هاشور بزنید.
|
|
همانطور که ملاحظه میکنید هریک از حالتهای الف و ب، قضیههایی دو شرطی بوده و برای اثبات هریک از آنها باید دو قضیهٔ شرطی را ثابت کنیم.
الف) فرض کنیم: $A\subseteq B$ و ثابت میکنیم: $A\bigcup B=B$ برای این منظور باید ثابت کنیم: $\left( A\bigcup B \right)\subseteq B$ و $B\subseteq \left( A\bigcup B \right)$، رابطهٔ $\left( 1 \right)\,B\subseteq \left( A\bigcup B \right)$ با توجه به تعریف اجتماع بدیهی است؛ بنابراین، به اثبات رابطه $\left( A\bigcup B \right)\subseteq B$ میپردازیم:
$:\,B\subseteq B$ میدانیم
$:A\subseteq B$ طبق فرض
$\Rightarrow \left( A\bigcup B \right)\subseteq \left( B\bigcup B \right)\Rightarrow \left( A\bigcup B \right)\subseteq B\,\,\,\left( 2 \right)$
(با توجه به $\left( 1 \right)$ و $\left( 2 \right)$ تساوی $A\bigcup B=B$ اثبات شده و حکم بهدست میآید.)
$\left( 1 \right)\,,\,\left( 2 \right)\Rightarrow \left( A\bigcup B \right)=B$
حال فرض کنیم $A\bigcup B=B$، ثابت میکنیم $A\subseteq B$؛
$:\,A\subseteq \left( A\bigcup B \right)\,\xrightarrow{A\bigcup B=B}\,A\subseteq B$ با توجه به تعریف اجتماع میدانیم
ب) ابتدا فرض کنیم $A\subseteq B$، تساوی $A\bigcap B=A$ را اثبات میکنیم:
$:\,\left( A\bigcap B \right)\subseteq A\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ با توجه به تعریف اشتراک داریم
$:\,A\subseteq A$ میدانیم
$:\,A\subseteq B$ طبق فرض
$\Rightarrow \,\left( A\bigcap A \right)\subseteq \left( A\bigcap B \right)\Rightarrow A\subseteq \left( A\bigcap B \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
(با توجه به $\left( 1 \right)$ و $\left( 2 \right)$ تساوی $A\bigcap B=A$، بهدست میآید.)
$\left( 1 \right)\,,\,\left( 2 \right)\,\Rightarrow \,\left( A\bigcap B \right)=A$
حال فرض میکنیم: $A\bigcap B=A$، ثابت میکنیم $A\subseteq B$؛
$:\,\left( A\bigcap B \right)\subseteq B\,\xrightarrow{A\bigcap B=A}\,A\subseteq B$ با توجه به تعریف اشتراک میدانیم
کار در کلاس (صفحهٔ 30 کتاب درسی)
(قوانین جذب یا همپوشانی) اگر A و B دو مجموعهٔ دلخواه از مجموعهٔ مرجع U باشند، میخواهیم تساویهای زیر را که به قوانین جذب معروفاند، با استفاده از قضیهٔ قبل و تعاریف اجتماع و اشتراک اثبات کنیم:
$A\bigcup \left( A\bigcap B \right)=A$ (الف
$A\bigcap \left( A\bigcup B \right)=A$ (ب
ابتدا با استفاده از نمودار وِن و هاشور زدن، درستی قوانین جذب را نشان دهید:
|
|
ملاحظه میکنید که در شکل اول اشتراک ناحیهٔ A و $A\bigcup B$ ناحیهٔ A شد و در شکل دوم هم اجتماع A و $A\bigcap B$ ناحیهٔ $A\,an.$
در قضیهٔ قبل ملاحظه کردید که اگر $C\subseteq D$ در اینصورت $\left( C\bigcup D \right)=D$ و $\left( C\bigcap D \right)=C$ است.
$:\,\left( A\bigcap B \right)\subseteq A\,\xrightarrow{Ghzieh}\,A\bigcup \left( A\bigcap B \right)=A$ طبق تعریف اشتراک میدانیم (اثبات الف
$:\,A\subseteq \left( A\bigcup B \right)\,\xrightarrow{Ghazieh}\,A\bigcap \left( A\bigcup B \right)=A$ طبق تعریف اشتراک میدانیم (اثبات ب
روش دیگری برای اثبات قوانین جذب نیز وجود دارد که شما با پر کردن جاهای خالی اثبات را کامل کنید.
توزیع پذیری $A\bigcup \left( A\bigcap B \right)=\left( A\bigcap U \right)\left( A\bigcap B \right)$ (الف
$=A\bigcap \left( U\bigcup B \right)$
$A\bigcap U=A$
توزیع پذیری $A\bigcap \left( A\bigcup B \right)=\left( A\bigcup .... \right)\bigcap \left( A\bigcup B \right)$ (ب
$=A\bigcap \left( \varnothing \bigcap B \right)$
$=A\bigcap \varnothing =A$
مثال: عبارتهای زیر ار ساده کنید:
$\left( A\bigcap B \right)\bigcup \left( \left( B\bigcup C \right)\bigcap \left[ \left( B\bigcup A \right)\bigcap B \right] \right)$ (الف
$\left( A\bigcap B \right)\bigcup \left( \left( B\bigcup C \right)\bigcap \left[ \underbrace{\left( B\bigcup A \right)\bigcap B}_{Jazb} \right] \right)=\left( A\bigcap B \right)\bigcup \left[ \underbrace{\left( B\bigcup C \right)\bigcap ....}_{Jazb} \right]=\underbrace{\left( A\bigcap B \right)\bigcup }_{Jazb}....=....$
$\left( A\bigcup {B}' \right)\bigcap \left[ \left( B\bigcap C \right)\left( {B}'\bigcup A \right) \right]$ (ب
جابهجایی $\left( A\bigcup {B}' \right)\bigcap \left[ \left( B\bigcap C \right)\bigcup \left( {B}'\bigcup A \right) \right]=\left( \underbrace{A\bigcup {B}'}_{E} \right)\bigcap \left[ \left( \underbrace{B\bigcap C}_{D} \right)\bigcup \left( \underbrace{A\bigcup {B}'}_{E} \right) \right]$
جذب $=\left( \underbrace{A\bigcup {B}'}_{E} \right)$
مثال: درستی هر یک از تساویهای زیر را بررسی کنید:
$A-B={B}'-{A}'$ (الف
$\left( X\subseteq A \right)\wedge \left( X\subseteq {A}' \right)\Rightarrow X=\varnothing$ (ب
$\left( A-B \right)\bigcap \left( B-A \right)=\varnothing$ (پ
$\left( A\bigcup B \right)-C=\left( A-C \right)\bigcup \left( B-C \right)$ (ت
$\left( A-B \right)\bigcup \left( A\bigcap B \right)\bigcup \left( B-A \right)=A\bigcup B$ (ث
حل:
$A-B=A\bigcap {B}'={B}'\bigcap A={B}'-{A}'$ (الف
$\left\{ \begin{align}
& X\subseteq A \\
& X\subseteq {A}' \\
\end{align} \right.\Rightarrow \left( X\bigcap X \right)\subseteq \left( A\bigcap {A}' \right)\Rightarrow X\subseteq .....\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$ (ب
از طرفی میدانیم $\varnothing \subseteq X$ و بنابراین $X=\varnothing $
$\left( A-B \right)\bigcap \left( B-A \right)=\left( A\bigcap {B}' \right)\bigcap \left( B\bigcap {A}' \right)$ (پ
شرکتپذیری $=\left[ \left( A\bigcap {B}' \right)\bigcap B \right]\bigcap {A}'$
شرکتپذیری $=\left[ A\bigcap \left( {B}'\bigcap B \right) \right]\bigcap {A}'$
تعریف متمم $=\left( A\bigcap \varnothing \right)\bigcap {A}'$
$=\varnothing \bigcap {A}'=\varnothing $
$\left( A\bigcup B \right)-C=\left( A\cup B \right)\bigcap {C}'$ (ت
توزیعپذیری «$\bigcap $» نسبت به «$\bigcup $» $=\left( A\bigcap {C}' \right)\bigcup \left( B\bigcap {C}' \right)$
تبدیل اشتراک به تفاضل $=\left( A-C \right)\bigcup \left( B-C \right)$
$\left( A-B \right)\bigcup \left( A\bigcap B \right)\bigcup \left( B-A \right)$ (ث
شرکتپذیری اجتماع $=\left[ \left( A-B \right)\bigcup \left( A\bigcap B \right) \right]\bigcup \left( B-A \right)$
تبدیل تفاضل به اشتراک $=\left[ \left( A\bigcap {B}' \right)\bigcup \left( A\bigcap B \right) \right]\bigcup \left( B\bigcap {A}' \right)$
توزیعپذیری $=\left[ A\bigcap \left( .....\bigcup ..... \right) \right]\bigcup \left( B\bigcap {A}' \right)$
تعریف متمم $=\left( A\bigcap U \right)\bigcup \left( B\bigcap {A}' \right)$
تعریف مرجع $=A\bigcup \left( B\bigcap {A}' \right)$
توزیعپذیری $=\left( A\bigcup ..... \right).....\left( A\bigcup ..... \right)$
تعریف متمم $=\left( A\bigcup B \right)\bigcap U$
تعریف مرجع $=A\bigcup B$
قوانین دمورگان
فعالیت (صفحهٔ 32 کتاب درسی)
1- فرض کنیم A و B دو مجموعه از مجموعهٔ مرجع U باشند، روی شکل سمت چپ، $A\bigcup {B}'$ و روی نمودار سمت راست، $\left( {A}'\bigcap {B}' \right)$ را هاشور بزنید. چه نتیجهای میگیرید؟
دو شکل کاملاً یکسان هستند، یعنی ${{\left( A\bigcup B \right)}^{\prime }}={A}'\bigcap {B}'$
|
|
|
|
|
2- اگر فرض کنیم: $U=\left\{ 1,2,...,10 \right\}$ و $A=\left\{ 2,3,5,8 \right\}$ و $B=\left\{ 3,4,6,8 \right\}$ هریک از مجموعههای ${{\left( A\bigcap B \right)}^{\prime }}$ و $\left( {A}'\bigcap {B}' \right)$ را تشکیل داده و با هم مقایسه کنید. چه نتیجهای میگیرید؟
${{\left( A\bigcap B \right)}^{\prime }}={{\left( \left\{ 2,3,5,8 \right\}\bigcap \left\{ 3,4,6,8 \right\} \right)}^{\prime }}={{\left( \left\{ 3,8 \right\} \right)}^{\prime }}=\left\{ 1,2,4,5,6,7,9,10 \right\}$
${A}'\bigcup {B}'={{\left( \left\{ 2,3,5,8 \right\} \right)}^{\prime }}\bigcup {{\left( \left\{ 3,4,6,8 \right\} \right)}^{\prime }}=\left\{ 1,4,6,7,9,10 \right\}\bigcup \left\{ 1,2,5,7,9,10 \right\}=\left\{ 1,2,3,5,6,7,9,10 \right\}$
دو مجموعهٔ بهدست آمده کاملاً یکسان هستند، پس:
${{\left( A\bigcap B \right)}^{\prime }}={A}'\bigcup {B}'$
تساویهای زیر را که به قوانین دمورگان معروفاند برای هر دو مجموعهٔ دلخواه از مجموعهٔ مرجع U برقرارند:
${{\left( A\bigcup B \right)}^{\prime }}=\left( {A}'\bigcap {B}' \right)$ (الف
${{\left( A\bigcap B \right)}^{\prime }}=\left( {A}'\bigcup {B}' \right)$ (ب
با استفاده از روش عضوگیری دلخواه و تعریف تساوی بین دو مجموعه، تساوی ${{\left( A\bigcup B \right)}^{\prime }}=\left( {A}'\bigcap {B}' \right)$ را اثبات کنید. (باید ثابت کنید ${{\left( A\bigcup B \right)}^{\prime }}\subseteq \left( {A}'\bigcap {B}' \right)$ و $\left( {A}'\bigcap {B}' \right)\subseteq {{\left( A\bigcup B \right)}^{\prime }}$)
$\forall x\,:{{\left[ x\in \left( A\bigcup B \right) \right.}^{\prime }}\Rightarrow x\notin \left( A\bigcup B \right)\Rightarrow x\notin A\,\wedge \,x\notin B$
$\Rightarrow x\in {A}'\,\wedge \,x\in B\Rightarrow x\in \left. \left( {A}'\bigcap {B}' \right) \right]\Rightarrow {{\left( A\bigcup B \right)}^{\prime }}\subseteq \left( {A}'\bigcap {B}' \right)$
روابط قبل برگشتپذیرند، شما به طریق مشابه نشان دهید که $\left( {A}'\bigcap {B}' \right)\subseteq {{\left( A\bigcup B \right)}^{\prime }}$ که در اینصورت، تساوی الف اثبات میشود.
کار در کلاس (صفحهٔ 33 کتاب درسی)
با استفاده از قوانین و خواص (جبر مجموعهها) درستی تساویهای زیر را بررسی کنید.
${{\left( A-B \right)}^{\prime }}=\left( {A}'\bigcup B \right)$ (الف
تبدیل تفاضل به اشتراک ${{\left( A-B \right)}^{\prime }}={{\left( A\bigcap {B}' \right)}^{\prime }}$
قانون دمورگان $=\left( {A}'\bigcup B \right)$
$\left( A-B \right)-C=\left( A-C \right)-B$ (ب
تبدیل تفاضل به اشتراک $\left( A-B \right)-C=\left( A\bigcap {B}' \right)-C$
تبدیل تفاضل به اشتراک $=\left( A\bigcap {B}' \right)\bigcap {C}'$
جابهجایی $=\left( A\bigcap {C}' \right)\bigcap {B}'$
تبدیل اشتراک به تفاضل $=\left( A-C \right)\bigcap {B}'$
تبدیل اشتراک به تفاضل $=\left( A-C \right)-B$
$A-\left( B\bigcap C \right)=\left( A-B \right)\bigcup \left( A-C \right)$ (پ
تبدیل تفاضل به اشتراک $A-\left( B\bigcap C \right)=A\bigcap {{\left( B\bigcap C \right)}^{\prime }}$
قانون دمورگان $=A\bigcap \left( {B}'\bigcup {C}' \right)$
توزیعپذیری اشتراک نسبت به اجتماع $=\left( A\bigcap {B}' \right)\bigcup \left( A\bigcap {C}' \right)$
تبدیل اشتراک به تفاضل $=\left( A-B \right)\bigcup \left( A-C \right)$
مثال: با استفاده از جبر مجموعهها درستی هریک از تساویهای زیر را بررسی کنید.
$A-\left( B\bigcup C \right)=\left( A-B \right)\bigcap \left( A-C \right)$ (الف
$A\bigcap \left( B-C \right)=\left( A\bigcap B \right)-\left( A\bigcap C \right)$ (ب
$A-\left( B-C \right)=\left( A-B \right)-C$ (پ
$\left( A\bigcup B \right)=\left( A\bigcap B \right)$ آنگاه $A=B$ (ت
حل:
تبدیل تفاضل به اشتراک $\left( A-B \right)\bigcap \left( A-C \right)=\left( A\bigcap {B}' \right)\bigcap \left( A\bigcap {C}' \right)$ (الف
شرکتپذیری $=\left[ \left( A\bigcap {B}' \right)\bigcap A \right]\bigcap {C}'$
جابهجایی $=\left[ A\bigcap \left( A\bigcap {B}' \right) \right]\bigcap {C}'$
.................. $=\left[ \left( A\bigcap A \right)\bigcap {B}' \right]\bigcap {C}'$
$A\bigcap A=A$ $=\left( A\bigcap {B}' \right)\bigcap {C}'$
شرکتپذیری $=A\bigcap \left( {B}'\bigcap {C}' \right)$
تبدیل اشتراک به تفاضل $=A-{{\left( {B}'\bigcap {C}' \right)}^{\prime }}$
قانون ............. $=A-\left( B\bigcup C \right)$
تبدیل تفاضل به اشتراک $\left( A\bigcap B \right)-\left( A\bigcap C \right)=\left( A\bigcap B \right)\bigcap {{\left( A\bigcap C \right)}^{\prime }}$ (ب
قانون دمورگان $=\left( A\bigcap B \right)\bigcap \left( {A}'\bigcup {C}' \right)$
توزیعپذیری $=\left[ \left( A\bigcap B \right)\bigcap {A}' \right]\bigcup \left[ \left( A\bigcap B \right)\bigcap {C}' \right]$
قوانین جابهجایی و شرکتپذیری $=\left[ \left( A\bigcap {A}' \right)\bigcap B \right]\bigcup \left[ A\bigcap \left( B\bigcap {C}' \right) \right]$
تبدیل اشتراک به تفاضل و تعریف متمم $=\left( \varnothing \bigcap B \right)\bigcup \left[ A\bigcap \left( B-C \right) \right]$
$=\varnothing \bigcup \left[ A\bigcap \left( B-C \right) \right]$
$=A\bigcap \left( B-C \right)$
پ) با کمی تأمل پی میبریم که برای رسیدن از یک طرف تساوی به طرف دیگر، دچار مشکل میشویم و این کار انجام نمیشود، ولی برای اینکه ادعا کنیم این تساوی همواره برقرار نیست، کافی است مثال نقض بزنیم:
$A=\left\{ 1,2,3,4,5 \right\}\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,B=\left\{ 3,4,5 \right\}\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,C=\left\{ 5,6,7 \right\}\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,U=\left\{ 1,2,.......,10 \right\}$
$A-\left( B-C \right)=\left\{ 1,2,3,4,5 \right\}-\left\{ 3,4 \right\}=\left\{ 1,2,5 \right\}$
$\left( A-B \right)-C=\left\{ 1,2 \right\}-\left\{ 5,6,7 \right\}=..........$
ت) وقتی مینویسیم: $C=D$، یعنی C و D یک مجموعهاند، با دو نام و لذا وقتی بین مجموعهها تساوی بهکار میبریم، میتوان نوشت طرفین تساوی را با هر مجموعهای اجتماع، یا اشتراک بگیریم، یعنی از اینکه $C=D$ نتیجه میشود: $A\bigcup C=A\bigcup D$ و $A\bigcap C=A\bigcap D$
$A\bigcup B=A\bigcap B\Rightarrow A\bigcap \left( A\bigcup B \right)=A\bigcap \left( A\bigcap B \right)$
$\left( A\bigcup B \right)=\left( A\bigcap B \right)\Rightarrow A\bigcup \left( A\bigcup B \right)=......\bigcup \left( A\bigcap B \right)$
$\left( 1 \right)\,,\,\left( 2 \right)\Rightarrow A=B$
روش دوم: دربارهٔ روش زیر که به اختصار نوشته شده است، با همکلاسی خود گفتوگو کنید و توضیح دهید:
$A\subseteq \left( A\bigcup B \right)=\left( A\bigcap B \right)\subseteq B\Rightarrow A\subseteq B$
و به طریق مشابه ثابت میشود: $B\subseteq A$ و نتیجه میشود: $A=B$
کار در کلاس (صفحهٔ 34 کتاب درسی)
1- اگر $A=\left\{ 1,2,...,10 \right\}$ و $B=\left\{ 5,6,...,15 \right\}$ و $U=\left\{ 1,2,...,20 \right\}$ حاصل هریک از عبارتهای زیر را بهدست آورید.
$\left( A\bigcap {B}' \right)\bigcup \left( A\bigcap B \right)$ (الف
$\left( A\bigcap {B}' \right)\bigcup \left( A\bigcap B \right)=A\bigcap \left( B\bigcup {B}' \right)$
$=A\bigcap U=A$
$A=\left\{ 1,2,3,4,...,10 \right\}$
$\left( A-B \right)\bigcup \left( \left( A\bigcap {B}' \right)\bigcap \left[ \left( B-A \right)\bigcup {A}' \right] \right)$ (ب
تبدیل تفاضل به اشتراک $=\left( A-B \right)\bigcup \left( \left( A\bigcap {B}' \right)\bigcap \left[ B\bigcap {A}'\bigcup {A}' \right] \right)$
قانون جذب و تبدیل تفاضل به اشتراک $=\left( A\bigcap {B}' \right)\bigcup \left( \left( A\bigcap {B}' \right)\bigcap {A}' \right)$
شرکتپذیری و جابهجایی $\left( A\bigcap {B}' \right)\bigcup \left( \left( A\bigcap {A}' \right)\bigcap {B}' \right)$
تعریف متمم $=\left( A\bigcap {B}' \right)\bigcup \left( \varnothing \bigcap {B}' \right)$
خواص تهی $=\left( A\bigcap {B}' \right)\bigcup \varnothing $
خواص تهی $=A\bigcap {B}'$
تبدیل اشتراک به تفاضل $=A-B$
$=\left\{ 1,2,........,10 \right\}-\left\{ 5,6,........,15 \right\}=\left\{ 1,2,3,4 \right\}$
(راهنمایی: با استفاده از جبر مجموعهها عبارتها را ساده کنید.)
2- با استفاده از نمودار ون که در زیر رسم شده است، مانند نمونه برای هر حالت و بهصورت جداگانه بخشی را که بهصورت توصیفی مشخص کردهایم، هاشور بزنید.
الف) اعضایی که فقط در A باشند.
ب) اعضایی که فقط در یک مجموعهاند.
پ) اعضایی که در A و B باشند، ولی در C نباشند.
ت) اعضایی که در A یا B باشند، ولی در C نباشند.
ضرب دکارتی بین دو مجموعه
قبلاً با تعریف زوج مرتب آشنا شدهاید و میدانید که «هر دو شیء مانند x و y، تشکیل یک زوج میدهند که اگر برای آنها ترتیب قائل باشیم، به آن یک زوج مرتب گفت میشود و با نماد $\left( x,y \right)$ نشان میدهیم» و البته میدانیم که $\left( x,y \right)=\left( z,t \right)$ اگر و تنها اگر $x=z$ و $y=t$.
عمل ضرب دکارتی بین دو مجموعهٔ A و B این امکان را برای ما فراهم میسازد تا مجموعهٔ جدیدی بسازیم که اعضای آن هر کدام یک زوج مرتب باشند و هریک از این زوجهای مرتب از اعضای A و B ساخته میشوند. بنابراین، مجموعهٔ حاصل دارای اعضایی از جنس زوج مرتب بوده و به اعضای A یا B شبیه نبوده و فقط اعضای A و B در ساختن آنها نقش دارند.
تعریف عمل ضرب دکارتی بین دو مجموعه: اگر A و B دو مجموعهٔ دلخواه باشند، $A\times B$ مجموعهای است که بهصورت زیر تعریف میشود:
$A\times B=\left\{ \left( x,y \right)\left| x\in A\wedge y\in B \right. \right\}$
در تعریف قبل توجه دارید که در هر $\left( x,y \right)$ متعلق به $A\times B$، همواره مؤلفه یا مختصِ اول، یعنی x باید از مجموعهٔ A و متناظراً مؤلفهٔ دوم، یعنی y باید از مجموعهٔ B باشد.
مثال: اگر $A=\left\{ 2,4,6 \right\}$ و $B=\left\{ 4,5 \right\}$، در اینصورت مجموعههای $A\times B$ و $B\times A$ را تشکیل دهید و با هم مقایسه کنید.
$A\times B=\left\{ \left( 2,4 \right),\left( 2,5 \right),.....,.....,\left( 6,4 \right),..... \right\}$
$B\times A=\left\{ \left( 4,2 \right),\left( 4,4 \right),......,\left( 5,2 \right),......,...... \right\}$
واضح است که $A\times B\ne B\times A$ (کافی است فقط در یک عضو با هم فرق داشته باشند؛ مثلاً $\left( 4,2 \right)\ne \left( 2,4 \right)$ و $\left( 2,4 \right)\in A\times B$ و $\left( 2,4 \right)\notin B\times A$.
کار در کلاس (صفحهٔ 35 کتاب درسی)
در مثال قبل دیدید که در مجموعهٔ $A\times B$ هر عضو A دو زوج مرتب تولید کرد و در کل شش زوج مرتب بهوجود آمد، حال اگر $n\left( A \right)=m$ و $n\left( B \right)=k$ با استفاده از تعریف عمل ضرب دکارتی و حاصلضرب، نشان دهید، $n\left( A\times B \right)=mk$
$A\times B=\left\{ \left( x,y \right)\left| x\in A\wedge x\in B \right. \right\}\Rightarrow n\left( A\times B \right)=n\left( A \right)\times n\left( B \right)=mk$
از آنجاییکه مؤلفهٔ اول از A انتخاب میشود و مؤلفهٔ دوم از B انتخاب میشود، بهازای هر عضوی که از A انتخاب میشود، k عضو B وجود دارد.
پس برای هر m تا عضو k ، A تا عضو B وجود دارد. بنابراین در کل $m\times k$ زوج مرتب تشکیل میشود. $\Rightarrow n\left( A\times B \right)=mk$
فعالیت (صفحهٔ 36 کتاب درسی)
1- اگر $A=\left\{ 1,-1,2,-2 \right\}$ و $B=\left\{ 0,3,4 \right\}$ ابتدا7 مجموعههای $\left( A\times B \right)$ و $\left( B\times A \right)$ را تشکیل دهید و سپس نمودار مختصاتی هریک از این مجموعهها را رسم کنید. (نمودارها را کامل کنید.)
$A\times B=\left\{ \left( 1,0 \right),\left( 1,3 \right),\left( 1,4 \right),\left( -1,0 \right),\left( -1,3 \right),\left( -1,4 \right),\left( 2,0 \right),\left( 2,3 \right),\left( 2,4 \right),\left( -2,0 \right),\left( -2,3 \right),\left( -2,4 \right) \right\}$
$B\times A=\left\{ \left( 0,1 \right),\left( 0,-1 \right),\left( 0,2 \right),\left( 0,-2 \right),\left( 3,1 \right),\left( 3,-1 \right),\left( 3,2 \right),\left( 3,-2 \right),\left( 4,1 \right),\left( 4,-1 \right),\left( 4,2 \right),\left( 4,-2 \right) \right\}$
|
|
|
|
|
2- اگر فرض کنیم $A:\left( 1,4 \right]$ و $B=\left\{ 1,2 \right\}$ در اینصورت، نمودارهای مربوط به $A\times B$ و $B\times A$ که بخشی از آنها رسم شده است را تکمیل کنید.
$A\times B=\left\{ \left( x,y \right)\left| x\in \left( 1,3 \right]\wedge y\in B \right. \right\}$
$B\times A=\left\{ \left( x,y \right)\left| \left( x=1\vee x=2 \right)\wedge 1\lt y\le 4 \right. \right\}$
|
|
|
|
|
3- اگر فرض کنیم: $A=\mathbb{R}$ و $B=\left\{ 0,1,2 \right\}$ نمودار $A\times B$ را رسم کنید.
$A\times B=\left\{ \left( x,y \right)\left| x\in \mathbb{R}\,,\,y\in \left\{ 0,1,2 \right\} \right. \right\}$
مؤلفهٔ اول یعنی طول نقاط عضو مجموعهٔ $\mathbb{R}$ است یعنی از $-\infty $ تا $+\infty $ اما مؤلفهٔ دوم، یعنی عرض نقاط فقط سه نقطهٔ 0، 1 و 2 است. بنابراین نمودار ضرب دکارتی $A\times B$ بهصورت سه خط افقی از $-\infty $ تا $+\infty $ روی نقاط 0، 1 و 2 است.
4- در صورتیکه $A=\left[ 1,4 \right]$ و $B=\left[ 0,2 \right]$ در اینصورت نمودار $\left( A\times B \right)$ را که بخشی از صفحهٔ مختصات دکارتی است، هاشور بزنید.
$A\times B=\left\{ \left( x,y \right)\left| 1\le x\le 4\wedge 0\le y\le 2 \right. \right\}$
در اینجا ناحیه محصور بین خطوط افقی $y=0$ و $y=2$ و خطوط عمودی $x=1$ و $x=4$ بیانگر نمودار مختصاتی ضرب دکارتی $A\times B$ میباشد.
5- در صورتیکه فرض کنیم: $A=\mathbb{R}$ و $B=\mathbb{R}$ در اینصورت حاصلضرب $A\times B=\mathbb{R}\times \mathbb{R}={{\mathbb{R}}^{2}}$ را چگونه تعبیر میکنید؟
نمودار $\mathbb{R}\times \mathbb{R}={{\mathbb{R}}^{2}}$ کل نقاط صفحهٔ مختصات میباشد.
کار در کلاس (صفحهٔ 37 کتاب درسی)
اگر A و B دو مجموعهٔ دلخواه باشند، در اینصورت:
$A\times \varnothing =\varnothing \times A=\varnothing $
$A\times B=B\times A\Rightarrow A=\varnothing \vee B=\varnothing \vee A=B$
اثبات الف) از برهان خلف استفاده میکنیم:
فرض کنیم: $A\times \varnothing \ne \varnothing $ (فرض خلف) در اینصورت، حداقل یک عضو مانند $\left( x,y \right)$ در $A\times \varnothing $ باید وجود داشته باشد که در اینصورت:
و چون $y\in \varnothing $ یک تناقض است (مجموعهٔ $\varnothing $ فاقد عضو است) پس فرض خلف، باطل شده است و حکم برقرار میباشد، به طریق مشابه ثابت کنید که $\varnothing \times A=\varnothing $.
اثبات ب) اگر $A=\varnothing $ یا $B=\varnothing $ که حکم اثبات میشود.
حال فرض کنیم: $A\ne \varnothing $ و $B\ne \varnothing $ که در اینصورت، به روش عضوگیری و با توجه به تعریف ضرب دکارت و فرض $A\times B=B\times A$، ثابت میکنیم $A=B$
(xای که از A فرض کردیم ثابت شد در B است و yای که از B فرض کردیم، ثابت شد در A است.)
تمرین (صفحهٔ 38 کتاب درسی)
1- با استفاده از تعریف اشتراک و خواص جابهجایی، شرکتپذیری و توزیعپذیری برای ترکیب عطفی در گزارهها، هریک از تساویهای زیر را ثابت کنید.
$A\bigcap B=B\bigcap A$ (الف
$A\bigcap B=\left\{ x\in U\left| x\in A\wedge x\in B \right. \right\}=\left\{ x\in U\left| x\in B\wedge x\in A \right. \right\}=B\bigcap A$
$A\bigcap \left( B\bigcap C \right)=\left( A\bigcap B \right)\bigcap C$ (ب
تعریف اشتراک $A\bigcap \left( B\bigcap C \right)=\left\{ x\in U\left| x\in A\wedge \left( x\in B\wedge x\in C \right) \right. \right\}$
تعریف اشتراک $=\left\{ x\in U\left| x\in A\wedge \left( x\in B\wedge x\in C \right) \right. \right\}$
شرکتپذیری در $\wedge $ $=\left\{ x\in U\left| x\in A\wedge \left( x\in B\wedge x\in C \right) \right. \right\}$
تعریف اشتراک $=\left\{ x\in U\left| x\in A\bigcap B\wedge x\in C \right. \right\}$
تعریف اشتراک $=\left( A\bigcap B \right)\bigcap C$
$A\bigcap \left( B\bigcup C \right)=\left( A\bigcap B \right)\bigcup \left( A\bigcap C \right)$ (پ
تعریف اشتراک $A\bigcap \left( B\bigcup C \right)=\left\{ x\in U\left| x\in A\wedge x\in B\bigcup C \right. \right\}$
تعریف اجتماع $=\left\{ x\in U\left| x\in A\wedge \left( x\in B\bigcup C \right) \right. \right\}$
توزیعپذیری $\wedge $ نسبت به $\vee $ $=\left\{ x\in U\left| \left( x\in A\wedge x\in B \right) \right. \right\}\vee \left( x\in A\wedge x\in C \right)$
تعریف اشتراک $=\left\{ x\in U\left| \left( x\in A\bigcap B \right)\vee \left( x\in A\bigcap C \right) \right. \right\}$
تعریف اجتماع $=\left( A\bigcap B \right)\bigcup \left( A\bigcap C \right)$
2- درستی هریک از تساویهای زیر را ثابت کنید.
$\left( A\bigcap B \right)\bigcup \left( {B}'\bigcap A \right)=A$ (الف
جابهجایی $\left( A\bigcap B \right)\bigcup \left( {B}'\bigcap A \right)=\left( A\bigcap B \right)\bigcup \left( A\bigcap {B}' \right)$
فاکتورگیری $=A\bigcap \left( B\bigcup {B}' \right)$
تعریف $\left( B\bigcup {B}'=U \right)U$ $=A\bigcap U$
خواص U $=A$
$\left( {A}'\bigcap {B}' \right)\bigcap A=\varnothing $ (ب
شرکتپذیری و جابهجایی $\left( {A}'\bigcap {B}' \right)\bigcap A=\left( {A}'\bigcap A \right)\bigcap {B}'$
تعریف متمم $=\varnothing \bigcap {B}'$
خواص $\varnothing $ $=\varnothing $
$A\bigcap \left( B\bigcap C \right)=\left( A\bigcap B \right)\bigcap \left( A\bigcap C \right)$ (پ
خواص اشتراک $A\cap A=A$ $A\bigcap \left( B\bigcap C \right)=\left( A\bigcap A \right)\bigcap \left( B\bigcap C \right)$
شرکتپذیری و جابهجایی$=\left( A\bigcap B \right)\bigcap \left( A\bigcap C \right)$
$A\bigcup \left( B\bigcup C \right)=\left( A\bigcup B \right)\bigcup \left( A\bigcup C \right)$ (ت
خواص اجتماع $A\bigcap A=A$ $A\bigcup \left( B\bigcup C \right)=\left( A\bigcup A \right)\bigcup \left( B\bigcup C \right)$
شرکتپذیری و جابهجایی $=\left( A\bigcup B \right)\bigcup \left( A\bigcup C \right)$
3- هریک از عبارتهای زیر را ساده کنید.
$\left( {A}'\bigcap B \right)\bigcup \left[ \left( B\bigcap A \right)-{B}' \right]\bigcap \left( B\bigcup A \right)$ (الف
تبدیل تفاضل به اشتراک $=\left( {A}'\bigcup B \right)\bigcup \left[ \left( B\bigcap A \right)\bigcap B \right]\bigcap \left( B\bigcup A \right)$
شرکتپذیری و جابهجایی $=\left( {A}'\bigcap B \right)\bigcup \left[ \left( B\bigcap B \right)\bigcap A \right]\bigcap \left( B\bigcup A \right)$
خواص اشتراک $B\bigcap B=B$ $=\left( {A}'\bigcap B \right)\bigcup \left( B\bigcap A \right)\bigcap \left( B\bigcup A \right)$
جابهجایی $=\underbrace{\left( B\bigcap {A}' \right)\bigcup \left( B\bigcap A \right)}_{{}}\bigcap \left( B\bigcup A \right)$
فاکتورگیری $=\left[ B\bigcap \left( {A}'\bigcup A \right) \right]\bigcap \left( B\bigcup A \right)$
تعریف $U\left( {A}'\bigcup A=U \right)$ $=\left[ B\bigcap U \right]\bigcap \left( B\bigcup A \right)$
خواص U $B\bigcap \left( B\bigcup A \right)$
قانون جذب $=B$
$\left( A\bigcup B \right)-B$ (ب
تبدیل تفاضل به اشتراک $\left( A\bigcup B \right)-B=\left( A\bigcup B \right)\bigcap {B}'$
توزیعپذیری $\bigcap $ نسبت به $\bigcup $ $=\left( A\bigcap {B}' \right)\bigcup \left( B\bigcap {B}' \right)$
تعریف $\varnothing $ $=\left( A\bigcap {B}' \right)\bigcup \varnothing $
خواص $\varnothing $ $=A\bigcap {B}'$
تبدیل اشتراک به تفاضل $=A-B$
$\left[ \left( A\bigcup B \right)-A \right]\bigcup \left( A\bigcap B \right)$ (پ
$\left[ \left( A\bigcup B \right)-A \right]\bigcup \left( A\bigcap B \right)=\left[ \left( A\bigcup B \right)\bigcap {A}' \right]\bigcup \left( A\bigcap B \right)$
تبدیل تفاضل به اشتراک توزیعپذیری توزیعپذیری $\bigcap $ نسبت به $\bigcup $
تعریف $\varnothing $ $=\left[ \left( A\bigcap {A}' \right)\bigcup \left( B\bigcap {A}' \right)\bigcup \left( A\bigcap B \right) \right]$
خواص $\varnothing $ $=\left[ \varnothing \bigcup \left( B\bigcap {A}' \right) \right]\bigcup \left( A\bigcap B \right)$
جابهجایی $=\left( B\bigcap {A}' \right)\bigcup \left( A\bigcap B \right)$
فاکتورگیری $=B\bigcap \left( {A}'\bigcup A \right)$
تعریف U $=B\bigcap U$
خواص U $=B$
4- درستی هر یک از تساویهای زیر را بررسی کنید.
$\left( A\subseteq X \right)\wedge \left( {A}'\subseteq X \right)\Rightarrow X=U$ (الف
با فرض $A\subseteq X$ و ${A}'\subseteq X$ باید ثابت کنیم $x=U$
برای این کار دو قسمت را باید ثابت کنیم: $X\subseteq U\,\,\left( 1 \right)$ $U\subseteq X\,\,\left( 2 \right)$
قسمت اول بدیهی و اثبات شده است، زیرا هر مجموعهای زیرمجموعهی، مجموعهی جهانی است.
برای اثبات قسمت دوم بهصورت زیر عمل میکنیم:
$\begin{matrix}
A\subseteq X\Rightarrow A\bigcap X=A \\
{A}'\subseteq X\Rightarrow {A}'\bigcap X={A}' \\
\end{matrix}\Rightarrow \left( A\bigcap X \right)\bigcup \left( {A}'\bigcap X \right)=A\bigcup {A}'=U\,\,\left( I \right)$
از طرف دیگر داریم:
$\left( A\bigcap X \right)\bigcup \left( {A}'\bigcap X \right)=\underbrace{\left( A\bigcup {A}' \right)}_{U}\bigcap X=U\bigcap X=X\,\,\left( II \right)$
$\left( I \right)\,,\,\left( II \right)\Rightarrow X=U$
درنتیجه میتوانیم بگوییم:
$\left( A\subseteq X \right)\wedge \left( {A}'\subseteq X \right)\Rightarrow X=U$
$\left( A-B \right)\bigcup \left( A\bigcap B \right)=A$ (ب
تبدیل تفاضل به اشتراک $\left( A-B \right)\bigcup \left( A\bigcap B \right)=\left( A\bigcap {B}' \right)\bigcup \left( A\bigcap B \right)$
فاکتورگیری $=\left( A\bigcap \left( {B}'\bigcup B \right. \right)$
تعریف U $=A\bigcap U$
خواص U $=A$
$\left( A\bigcap B \right)-C=\left( A-C \right)\bigcap \left( B-C \right)$ (پ
تبدیل تفاضل به اشتراک $\left( A\bigcap B \right)-C=\left( A\bigcap B \right)\bigcap {C}'$
${C}'={C}'\bigcap {C}'$ $=\left( A\bigcap B \right)\bigcap \left( {C}'\bigcap {C}' \right)$
شرکتپذیری و جابهجایی $=\left( A\bigcap {C}' \right)\bigcap \left( B\bigcap {C}' \right)$
تبدیل اشتراک به تفاضل $=\left( A-C \right)\bigcap \left( B-C \right)$
$\left( A-B \right)\bigcup \left( B-A \right)=\left( A\bigcup B \right)-\left( A\bigcap B \right)$ (ت
تبدیل تفاضل به اشتراک $\left( A-B \right)\bigcup \left( B-A \right)=\left( A\bigcap {B}' \right)\bigcup \left( B\bigcap {A}' \right)$
توزیعپذیری اجتماع به اشتراک $=\left[ \left( A\bigcap {B}' \right)\bigcup B \right]\bigcap \left[ \left( A\bigcap {B}' \right)\bigcup {A}' \right]$
توزیعپذیری اجتماع به اشتراک $=\left[ \left( A\bigcup B \right)\bigcap \left( {B}'\bigcup B \right) \right]\bigcap \left[ \left( A\bigcup {A}' \right)\bigcap \left( {B}'\bigcup {A}' \right) \right]$
تعریف U $=\left[ \left( A\bigcup B \right)\bigcap U \right]\bigcap \left[ U\bigcap \left( {B}'\bigcup {A}' \right) \right]$
خواص U $=\left( A\bigcup B \right)\bigcap \left( {B}'\bigcup {A}' \right)$
قانون دمورگان $=\left( A\bigcup B \right)\bigcap \left( B\bigcap {A}' \right)$
جابهجایی $=\left( A\bigcup B \right)\bigcap {{\left( A\bigcap B \right)}^{\prime }}$
تبدیل اشتراک به تفاضل $=\left( A\bigcup B \right)-\left( A\bigcap B \right)$
$\left( A\bigcup B \right)\bigcap \left( {A}'\bigcap {B}' \right)=\varnothing $ (ث
شرکتپذیری $\left( A\bigcup B \right)\bigcap \left( {A}'\bigcap {B}' \right)=\left[ \left( A\bigcup B \right)\bigcap {A}' \right]\bigcap {B}'$
توزیعپذیری اشتراک نسبت به اجتماع $=\left[ \left( A\bigcap {A}' \right)\bigcup \left( B\bigcap {A}' \right) \right]\bigcap {B}'$
تعریف $\varnothing $ $=\left[ \varnothing \bigcup \left( B\bigcap {A}' \right) \right]\bigcap {B}'$
خواص $\varnothing $ $=\left( B\bigcap {A}' \right)\bigcap {B}'$
شرکتپذیری و جابهجایی $\left( B\bigcap {B}' \right)\bigcap {A}'$
تعریف $\varnothing $ $\varnothing \bigcap {A}'$
خواص $\varnothing $ $\varnothing $
$\left[ \left( A\bigcup B \right) \right]=\left( A\bigcup C \right)\vee \left( A\bigcap B \right)=\left( A\bigcap C \right)\Rightarrow B=C$ (ج
5- اگر $A=\left\{ y+2,5,z \right\}$ و $B=\left\{ x+1,4,-2 \right\}$ در اینصورت با فرض $A\times B=B\times A$ بیشترین مقدار برای $\left( x+y+z \right)$ را بیابید.
اگر $A\times B=B\times A$ باشد سه حالت ممکن است پیش بیاید: $A=\varnothing $ یا $B=\varnothing $ یا $A=B$
حالت $A=\varnothing $ ممکن نیست، زیرا A و B دارای عضو هستند پس فقط حالت $A=B$ ممکن است.
برای اینکه دو مجموعه مساوی باشند باید همهٔ عضوهای آنها با هم برابر باشد.
مجموعهٔ A دارای عدد 5 است پس مجموعهٔ B نیز باید دارای عدد 5 باشد، پس $x+1=5$ در نتیجه $x=4$ است.
مجموعهٔ B دارای اعداد 4 و 2- است. پس مجموعهٔ A نیز باید این دو عدد را داشته باشد. در اینجا دو حالت ممکن است پیش بیاید:
1) $z=-2$ و $y+2=4$ یا 2) $z=4$ و $y+2=-2$
در حالت اول $z=-2$ و $y=2$ است و در حالت دوم 2) $z=4$ و $y=-4$ خواهد بود.
در هر دو حالت بهدست آمده، مقدار $x+y+z$ را محاسبه میکنیم تا ببینیم، در کدام حالت بیشترین مقدار میشود:
$1)\,x=4,y=2,z=-2\Rightarrow x+y+z=4+2+\left( -2 \right)=4$
$2)\,x=4,y=-4,z=4\Rightarrow x+y+z=4+\left( -4 \right)+4=4$
هر دو مساوی شدند، پس بیشترین مقدار ممکن برای $x+y+z$ همان 4 است.
6- با توجه به مجموعههای داده شده، نمودار هریک از حاصلضربهای $A\times B$ و $B\times A$ را رسم کنید.
$A=\left\{ 2,3 \right\}\,,\,B=\left\{ 2,3,4 \right\}$ (الف
$A\times B=\left\{ \left( 2,2 \right),\left( 2,3 \right),\left( 2,4 \right),\left( 3,2 \right),\left( 3,3 \right),\left( 3,4 \right) \right\}$
$B\times A=\left\{ \left( 2,2 \right),\left( 2,3 \right),\left( 3,2 \right),\left( 3,3 \right),\left( 4,2 \right),\left( 4,3 \right) \right\}$
|
|
$A=\left\{ 3,4 \right\}\,,\,B=\left( 1,5 \right]$ (ب
$A\times B=\left\{ \left( x,y \right)\left| x\in \left\{ 3,4 \right\}\wedge 1\lt y\le 5 \right. \right\}$
$B\times A=\left\{ \left( x,y \right)\left| 1\lt x\le 5\wedge y\in \left\{ 3,4 \right\} \right. \right\}$
|
|
$A=\left[ 2,6 \right]\,,\,B=\left[ 3,8 \right]$ (پ
$A\times B=\left\{ x,y\left| 2\le x\le 6\wedge 3\le y\le 8 \right. \right\}$
$B\times A=\left\{ \left( x,y \right)\left| 3\le x\le 8\wedge 2\le y\le 6 \right. \right\}$
|
|
$A=\mathbb{N}\,,\,B=\left[ 1,4 \right]$ (ت
$A\times B=\left\{ \left( x,y \right)\left| x\in \mathbb{N},1\le y\le 4 \right. \right\}$
$B\times A=\left\{ \left( x,y \right)\left| 1\le x\le 4,y\in \mathbb{N} \right. \right\}$
|
|
$A=\mathbb{R},B=\left\{ 2,3 \right\}$ (ث
$A\times B=\left\{ \left( m,y \right)\left| x\in \mathbb{R}\,,\,y\in \left\{ 2,3 \right\} \right. \right\}$
$B\times A=\left\{ \left( x,y \right)\left| y\in \mathbb{R}\,,\,x\in \left\{ 2,3 \right\} \right. \right\}$
|
|